Yuki 377 背景パターン ( Burnside Lemma, Math )

No.377 背景パターン - yukicoder

題意：
H * W 格子的壁紙，每個格子有 K 種顏色中一種。這個壁紙由無窮左到無窮右不重疊貼滿，無窮下方至無窮下方也一樣。問牆壁的圖案有多少種，對 1e9 + 7 取模。兩個牆壁的圖案相同若且唯若同時存在相同一個 H * W 的圖案。

制約：
1 ≤ H, W, K ≤ 1e9

解法：
考慮用伯恩賽德定理，操作用 ( i, j ) 向量描述，其中 0 ≤ i < H and 0 ≤ j < W：

時間 / 空間複雜度：
O( max( H, W )^(1/3) ^ 3 lg ( H * W ) )

from itertools import product
from functools import reduce

MOD = int( 1e9 ) + 7

H, W, K = map( int, input().split() )

def gcd( a, b ):
  return a if b == 0 else gcd( b, a % b )

def is_prime( n ):
  return 1 < n and all( n % i for i in range( 2, int( n ** 0.5 ) + 1 ) )

def factors( n ):
  return [ i for i in range( 1, int( n ** 0.5 ) + 1 ) if n % i == 0 ] + [ n // i for i in range( 1, int( n ** 0.5 ) + 1 ) if i * i != n and n % i == 0 ]

hf, wf = factors( H ), factors( W )
hp, wp = [ v for v in hf if is_prime( v ) ], [ v for v in wf if is_prime( v ) ]
phi = { x : reduce( lambda a, b: a // b * ( b - 1 ), [ x ] + [ p for p in ( hp if H % x == 0 else wp ) if x % p == 0 ] ) for x in hf + wf }

ans = sum( pow( K, H // a * W // b * gcd( a, b ), MOD ) * phi[ a ] * phi[ b ] for a, b in product( hf, wf ) ) * pow( H * W, MOD - 2, MOD ) % MOD
print( ans )