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0w1

CFR 622 F. The Sum of the k-th Powers ( Lagrange's Interpolation, Math )

Problem - 622F - Codeforces

題意:
令 f( k, x ) = sum( pow( i, k ) for i in range( 1, x + 1 ) ) % ( 1e9 + 7 )。
問 f( K, N ) 是多少。

制約:
1 ≤ N ≤ 1e9
0 ≤ K ≤ 1e6

解法:
很神奇,還沒看到這題的時候我就有想過手算一樣的問題了,還蠻顯然是用拉格朗日。
首先觀察到 f( k, x ) 的通式是 k + 1 次的多項式。用拉格朗日插值要有 k + 2 個 ( x, f( k, x ) ),就可以找出通式。為了方便,求的是 x <- [ 1, k + 2 ]。
{ \displaystyle
f\left( \; k,\; x\;  \right)\; =\; \sum_{i\; =\; 1}^{k\; +\; 2}{\left( \; f\left( \; k,\; i\;  \right)\; \cdot \; \prod_{j\; =\; 1\; \wedge \; j\; \neq \; i}^{k\; +\; 2}{\frac{x\; -\; j}{i\; -\; j}} \right)}\\ =\; \sum_{i\; =\; 1}^{k\; +\; 2}{\left( \; f\left( \; k,\; i\;  \right)\; \cdot \; \frac{\prod_{j\; =\; 1}^{k\; +\; 2}{\left( \; x\; -\; j\;  \right)}}{\left( \; x\; -\; i\;  \right)\; \cdot \; \left( \; i\; -\; 1\;  \right)\; !\; \cdot \; \left( \; k\; +\; 2\; -\; i\;  \right)\; !\; \cdot \; \left( \; -1\;  \right)^{\; k\; +\; 2\; -\; i\; }} \right)}
}

時間 / 空間複雜度:
O( K lg MOD )

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = int( 1e9 );
const int MAXK = int( 1e6 );
const int MOD = int( 1e9 ) + 7;

int int_pow( int v, int p ) {
  int res = not ( v == 0 and p );
  while( p ) {
    if( p & 1 ) {
      res = 1LL * res * v % MOD;
    }
    p >>= 1;
    v = 1LL * v * v % MOD;
  }
  return res;
}

int inv( int v ) {
  return int_pow( v, MOD - 2 );
}

int fact[ MAXK + 1 + 1 ];

int N, K;

int f[ MAXK + 2 + 1 ];

signed main() {
  ios::sync_with_stdio( 0 );
  cin >> N >> K;
  for( int i = fact[ 0 ] = 1; i <= K + 1; ++i ) {
    fact[ i ] = 1LL * fact[ i - 1 ] * i % MOD;
  }
  for( int i = 1; i <= K + 2; ++i ) {
    f[ i ] = ( f[ i - 1 ] + int_pow( i, K ) ) % MOD;
  }
  if( N <= K + 2 ) {
    cout << f[ N ] << endl;
    exit( 0 );
  }
  int xmj = 1;
  for( int i = 1; i <= K + 2; ++i ) {
    xmj = 1LL * xmj * ( N - i ) % MOD;
  }
  int ans = 0;
  for( int i = 1; i <= K + 2; ++i ) {
    int p = 1LL * f[ i ] * xmj % MOD * inv( N - i ) % MOD * inv( 1LL * fact[ i - 1 ] * fact[ K + 2 - i ] % MOD ) % MOD;
    if( K + 2 - i & 1 ) p *= -1;
    ( ans += p ) %= MOD;
  }
  if( ans < 0 ) ans += MOD;
  cout << ans << endl;
  return 0;
}