Yuki 243 出席番号(2) ( DP, Inclusion Exclusion )

No.243 出席番号(2) - yukicoder

題意：
有 N 位可分別的學生，現在你要分配 0 ~ N - 1 的座位給他們。每個學生都有一個不喜歡的座位編號。求每個人都不作到不喜歡的座位編號的方案數，對 1e9 + 7 取模。

資料規模：
生徒の数Nが最初の行で与えられる。1≤N≤5000。
以降の行でSi君の嫌いな数AiがN行で与えられる。0≤Ai≤4999。

解法：
dp[ i ][ j ] : 已考慮前 i 個座位，已有 j 個座位被不喜歡的人選走的方法數，但是這 j 個座位以外座位無論怎麼被選，都屬於同一個狀態。
那麼我們有 f( i ) : 至少有 i 個座位被討厭的人坐到的方案數
f( i ) = dp[ N ][ i ] * ( N - i )!
再利用排容原理求恰有 0 個座位被討厭的人坐到的方案數即可。

時間 / 空間複雜度：
O( N^2 ) / O( N )

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MOD = ( int ) 1e9 + 7;
const int MAXN = 5000;

int fact[ MAXN + 1 ];
int N;
int A[ MAXN ];
int cnt[ MAXN ];
int dp[ 2 ][ MAXN + 1 ];

signed main(){
  {
    for( int i = fact[ 0 ] = 1; i <= MAXN; ++i ){
      fact[ i ] = 1LL * fact[ i - 1 ] * i % MOD;
    }
  }
  ios::sync_with_stdio( 0 );
  cin >> N;
  for( int i = 0; i < N; ++i ){
    cin >> A[ i ];
    ++cnt[ A[ i ] ];
  }
  dp[ 0 ][ 0 ] = 1;
  for( int i = 0; i < N; ++i ){
    for( int j = 0; j <= i + 1; ++j ){
      dp[ ~i & 1 ][ j ] = 0;
    }
    for( int j = 0; j <= i; ++j ){
      ( dp[ ~i & 1 ][ j ] += dp[ i & 1 ][ j ] ) %= MOD;
      ( dp[ ~i & 1 ][ j + 1 ] += 1LL * cnt[ i ] * dp[ i & 1 ][ j ] % MOD ) %= MOD;
    }
  }
  int ans = 0;
  for( int i = 0; i <= N; ++i ){
    ( ans += 1LL * ( i & 1 ? - 1 : 1 ) * dp[ N & 1 ][ i ] * fact[ N - i ] % MOD ) %= MOD;
  }
  if( ans < 0 ) ans += MOD;
  cout << ans << endl;
  return 0;
}