0w1

CFR 434 D. Nanami's Power Plant ( Flow, Mincut )

Codeforces Flow Mincut Dinic's

Problem - 434D - Codeforces

題意：
有 N 個二次函數，以及 M 條不等式。
你想要最大化所有二次函數的輸出的總和。
對於第 i 個二次函數，參數範圍是 [ L[ i ], R[ i ] ] 的整數。
第 i 條不等式表示 X[ U[ i ] ] ≤ X[ V[ i ] ] + D[ i ]。
問最大輸出總和。

制約：
1 ≤ N ≤ 50
0 ≤ M ≤ 100
abs( A ) ≤ 10
abs( B ), abs( C ) ≤ 1000

  • 100 ≤ L[ i ] ≤ R[ i ] ≤ 100

解法：
如果把 N 個函數分別看成 N 條線，源點連到左端點，右端點連到匯點，每個可行參數都做一個邊，容量是對應的輸出，那麼就等價於求對每條線只能切一刀的最大割。把所有容量轉為負值之後，平移使得最小值非負就可以轉換成最小割問題。這樣做的目的在於可以有效地表示不等式的條件。
考慮一個不等式 X[ u ] ≤ X[ v ] + d，那代表第 u 條線如果取參數 [ s, ∞ ]，那麼第 v 條線就不能取參數 [ -∞, s - d - 1 ]。因此如果給第 u 條線這個參數 s 代表的邊連容量無限大的弧到第 v 條線 s - d - 1 代表的邊的話，如果第 u 條線取參數 [ s, ∞ ]，第 v 條線卻取 [ -∞, s - d - 1 ] 就會有流，得不到割。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

template< class T >
struct Dinic {
  static const int MAXV = 20000;
  static constexpr T INF = 1e9;
  struct Edge {
    int v;
    T f;
    int re;
    Edge( int _v, T _f, int _re ): v( _v ), f( _f ), re( _re ) {}
  };
  int n, s, t, level[ MAXV ];
  vector< Edge > E[ MAXV ];
  int now[ MAXV ];
  Dinic( int _n, int _s, int _t ): n( _n ), s( _s ), t( _t ) {}
  void add_edge( int u, int v, T f ) {
    E[ u ].emplace_back( v, f, E[ v ].size() );
    E[ v ].emplace_back( u, 0, E[ u ].size() - 1 );
  }
  bool BFS() {
    memset( level, -1, sizeof( level ) );
    queue< int > que;
    que.emplace( s );
    level[ s ] = 0;
    while( not que.empty() ) {
      int u = que.front();
      que.pop();
      for( auto it: E[ u ] ) {
        if( it.f > 0 and level[ it.v ] == -1 ) {
          level[ it.v ] = level[ u ] + 1;
          que.emplace( it.v );
        }
      }
    }
    return level[ t ] != -1;
  }
  T DFS( int u, T nf ) {
    if( u == t ) return nf;
    T res = 0;
    while( now[ u ] < E[ u ].size() ) {
      Edge &it = E[ u ][ now[ u ] ];
      if( it.f > 0 and level[ it.v ] == level[ u ] + 1 ) {
        T tf = DFS( it.v, min( nf, it.f ) );
        res += tf; nf -= tf; it.f -= tf;
        E[ it.v ][ it.re ].f += tf;
        if( nf == 0 ) return res;
      } else ++now[ u ];
    }
    if( not res ) level[ u ] = -1;
    return res;
  }
  T flow( T res = 0 ) {
    while( BFS() ) {
      T temp;
      memset( now, 0, sizeof( now ) );
      while( temp = DFS( s, INF ) ) {
        res += temp;
        res = min( res, INF );
      }
    }
    return res;
  }
};

const int MAXN = 50;
const int MAXM = 100;

int N, M;
int A[ MAXN ], B[ MAXN ], C[ MAXN ];
int L[ MAXN ], R[ MAXN ];
int base[ MAXN + 1 ]; // node count before this wire
int U[ MAXM ], V[ MAXM ], D[ MAXM ];

const int MAXF = 201000; // f( x ) = 10 * 100**2 + 1000 * 100 + 1000 yori

signed main() {
  ios::sync_with_stdio( false );
  cin >> N >> M;
  for( int i = 0; i < N; ++i ) {
    cin >> A[ i ] >> B[ i ] >> C[ i ];
  }
  for( int i = 0; i < N; ++i ) {
    cin >> L[ i ] >> R[ i ];
    base[ i + 1 ] = base[ i ] + R[ i ] - L[ i ] + 2;
  }
  int SRC = base[ N ], DST = SRC + 1;
  Dinic< int > din( base[ N ] + 2, SRC, DST );
  for( int i = 0; i < N; ++i ) {
    din.add_edge( SRC, base[ i ], din.INF );
    for( int j = L[ i ]; j <= R[ i ]; ++j ) {
      static auto f = [ & ]( int i, int x ) { return A[ i ] * x * x + B[ i ] * x + C[ i ]; };
      din.add_edge( base[ i ] + j - L[ i ], base[ i ] + j - L[ i ] + 1, MAXF - f( i, j ) );
    }
    din.add_edge( base[ i ] + R[ i ] - L[ i ] + 1, DST, din.INF );
  }
  for( int i = 0; i < M; ++i ) {
    int u, v, d;
    cin >> u >> v >> d;
    --u, --v;
    for( int j = L[ u ]; j <= R[ u ]; ++j ) { // kocci no torieru sentaku wo rekkyo situtu
      if( L[ v ] <= j - d - 1 and j - d - 1 <= R[ v ] ) { // taisyou to suru mono ni toccya iken mono ga torieru baai
        din.add_edge( base[ u ] + j - L[ u ], base[ v ] + j - d - L[ v ], din.INF ); // fusegimasu
      }
    }
  }
  cout << N * MAXF - din.flow() << endl;
  return 0;
}