CFR 808 F. Card Game ( Flow, Binary Search )

Problem - 808F - Codeforces

題意：
你有 N 張卡。第 i 張卡有 P[ i ] 單位的力量，C[ i ] 單位的魔法性質，L[ i ] 的門檻。
你想組一個總力量不小於 K 單位的牌組，但是這些牌的門檻必須不超過你的等級，並且任意兩張的魔法性質總和不為質數。
你現在的等級是 1，問你至少要多少等級才能得到想要的牌組，無解輸出 -1。

制約：
1 ≤ N ≤ 100
1 ≤ K ≤ 1e5
1 ≤ P[ i ] ≤ 1000
1 ≤ C[ i ] ≤ 1e5
1 ≤ L[ i ] ≤ N

解法：
兩張總和不為質數明示了可以轉為二分圖上的問題，奇數一邊，偶數另一邊，暫時先不考慮 C[ i ] = 1 的存在。
預處理質數真偽表。
對答案二分搜，每次重新建圖，忽視那些門檻超過的卡片。
顯然，對於一個 X = C[ i ]，若第 i 張卡片要被取，那麼所有 C[ i ] = X 的卡片也都該被取。
圖上的點代表魔法性質的數字，源點給每個偶數的連弧，容量是對應的力量總和; 每個奇數對匯點連弧，容量是對應的力量總和。
給每對總和為質數的點建弧，容量為無限大。
這時的最大流便是我們不能取得的最小分數，並且他的補集是能取的最大分數。
至於有 C[ i ] = 1 的情況，討論取或不取，但不要把它真的丟進圖裡面。

複雜度：
玄學。
聽說 Dinic's 在二分圖上的表現是 O( V * E**0.5 )

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

template< class T >
struct Dinic {
  static const int MAXV = 10000;
  static const T INF = 0x3f3f3f3f;
  struct Edge {
    int v;
    T f;
    int re;
    Edge( int _v, T _f, int _re ): v( _v ), f( _f ), re( _re ) {}
  };
  int n, s, t, level[ MAXV ];
  vector< Edge > E[ MAXV ];
  int now[ MAXV ];
  Dinic( int _n, int _s, int _t ): n( _n ), s( _s ), t( _t ) {}
  void add_edge( int u, int v, T f ) {
    E[ u ].emplace_back( v, f, E[ v ].size() );
    E[ v ].emplace_back( u, 0, E[ u ].size() - 1 );
  }
  bool BFS() {
    memset( level, -1, sizeof( level ) );
    queue< int > que;
    que.emplace( s );
    level[ s ] = 0;
    while( not que.empty() ) {
      int u = que.front();
      que.pop();
      for( auto it: E[ u ] ) {
        if( it.f > 0 and level[ it.v ] == -1 ) {
          level[ it.v ] = level[ u ] + 1;
          que.emplace( it.v );
        }
      }
    }
    return level[ t ] != -1;
  }
  T DFS( int u, T nf ) {
    if( u == t ) return nf;
    T res = 0;
    while( now[ u ] < E[ u ].size() ) {
      Edge &it = E[ u ][ now[ u ] ];
      if( it.f > 0 and level[ it.v ] == level[ u ] + 1 ) {
        T tf = DFS( it.v, min( nf, it.f ) );
        res += tf; nf -= tf; it.f -= tf;
        E[ it.v ][ it.re ].f += tf;
        if( nf == 0 ) return res;
      } else ++now[ u ];
    }
    if( not res ) level[ u ] = -1;
    return res;
  }
  T flow( T res = 0 ) {
    while( BFS() ) {
      T temp;
      memset( now, 0, sizeof( now ) );
      while( temp = DFS( s, INF ) ) {
        res += temp;
      }
    }
    return res;
  }
};

const int SOURCE = 100;
const int SINK = 101;

const int MAXN = 100;
const int MAXP = 1000;
const int MAXC = int( 1e5 );

int np[ MAXC * 2 + 1 ]; // not prime

int N, K;
int P[ MAXN ], C[ MAXN ], L[ MAXN ];

int score( int lv ) {
  vector< int > ps( MAXC + 1 );
  vector< int > dsctz;
  for( int i = 0; i < N; ++i ) {
    if( lv < L[ i ] ) continue;
    dsctz.emplace_back( C[ i ] );
    if( C[ i ] == 1 ) {
      ps[ 1 ] = max( ps[ 1 ], P[ i ] );
    } else {
      ps[ C[ i ] ] += P[ i ];
    }
  }
  sort( dsctz.begin(), dsctz.end() );
  dsctz.erase( unique( dsctz.begin(), dsctz.end() ), dsctz.end() );
  auto id = [ & ]( int x ) { return lower_bound( dsctz.begin(), dsctz.end(), x ) - dsctz.begin(); };
  Dinic< int > no_one( 102, SOURCE, SINK ), has_one( 102, SOURCE, SINK );
  int bad1 = 0;
  for( int i = 2; i <= MAXC; ++i ) if( ps[ i ] ) {
    if( i & 1 ) {
      no_one.add_edge( id( i ), SINK, ps[ i ] );
      has_one.add_edge( id( i ), SINK, ps[ i ] );
    } else {
      no_one.add_edge( SOURCE, id( i ), ps[ i ] );
      if( np[ i + 1 ] ) {
        has_one.add_edge( SOURCE, id( i ), ps[ i ] );
      } else {
        bad1 += ps[ i ];
      }
    }
  }
  for( int x: dsctz ) if( ~x & 1 ) {
    for( int y: dsctz ) if( y & 1 ) if( y != 1 ) {
      if( not np[ x + y ] ) {
        no_one.add_edge( id( x ), id( y ), no_one.INF );
        has_one.add_edge( id( x ), id( y ), has_one.INF );
      }
    }
  }
  int sum = accumulate( ps.begin() + 2, ps.end(), 0 );
  return max( sum - no_one.flow(), sum - bad1 + ps[ 1 ] - has_one.flow() );
}

signed main() {
  for( int i = 2; i <= MAXC * 2; ++i ) {
    if( np[ i ] ) continue;
    for( int j = i + i; j <= MAXC * 2; j += i ) {
      np[ j ] = 1;
    }
  }
  ios::sync_with_stdio( 0 );
  cin >> N >> K;
  for( int i = 0; i < N; ++i ) {
    cin >> P[ i ] >> C[ i ] >> L[ i ];
  }
  int lb = 0, ub = N + 1;
  while( ub - lb > 1 ) {
    int mid = lb + ub >> 1;
    ( score( mid ) < K ? lb : ub ) = mid;
  }
  cout << ( ub <= N ? ub : -1 ) << endl;
  return 0;
}